单片机开平方的快速算法

liyf 发表于 2014-10-5 14:04:15

单片机开平方的快速算法

为工作的需要，要在单片机上实现开根号的操作。目前开平方的方法大部分是用牛顿
迭代法。我在查了一些资料以后找到了一个比牛顿迭代法更加快速的方法。
1.原理
因为排版的原因，用pow(X,Y)表示X的Y次幂，用B，B，...，B表示一个序列，
其中为下标。

假设：
B,b都是二进制序列,取值0或1。
M = B*pow(2,m-1) + B*pow(2,m-2) + ... + B*pow(2,1) + B*pow
(2,0)
N = b*pow(2,n-1) + b*pow(2,n-2) + ... + b*pow(2,1) + n*pow
(2,0)
pow(N,2) = M

(1) N的最高位b可以根据M的最高位B直接求得。
设 m 已知,因为 pow(2, m-1) <= M <= pow(2, m)，所以 pow(2, (m-1)/2) <= N <=
pow(2, m/2)
如果 m 是奇数，设m=2*k+1,
那么 pow(2,k) <= N < pow(2, 1/2+k) < pow(2, k+1),
n-1=k, n=k+1=(m+1)/2
如果 m 是偶数，设m=2k,
那么 pow(2,k) > N >= pow(2, k-1/2) > pow(2, k-1),
n-1=k-1,n=k=m/2
所以b完全由B决定。
余数 M = M - b*pow(2, 2*n-2)

(2) N的次高位b可以采用试探法来确定。
因为b=1，假设b=1，则 pow(b*pow(2,n-1) + b*pow(2,n-2),
2) = b*pow(2,2*n-2) + (b*pow(2,2*n-2) + b*pow(2,2*n-4)),
然后比较余数M是否大于等于 (pow(2,2)*b + b) * pow(2,2*n-4)。这种
比较只须根据B、B、...、B便可做出判断，其余低位不做比较。
若 M >= (pow(2,2)*b + b) * pow(2,2*n-4), 则假设有效，b =
1；
余数 M = M - pow(pow(2,n-1)*b + pow(2,n-2)*b, 2) = M -
(pow(2,2)+1)*pow(2,2*n-4)；
若 M < (pow(2,2)*b + b) * pow(2,2*n-4), 则假设无效，b =
0；余数 M = M。

(3) 同理，可以从高位到低位逐位求出M的平方根N的各位。

使用这种算法计算32位数的平方根时最多只须比较16次，而且每次比较时不必把M的各位逐
一比较，尤其是开始时比较的位数很少，所以消耗的时间远低于牛顿迭代法。

2. 流程图
(制作中，稍候再上)

3. 实现代码
这里给出实现32位无符号整数开方得到16位无符号整数的C语言代码。

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/****************************************/
/*Function: 开根号处理                */
/*入口参数：被开方数，长整型          */
/*出口参数：开方结果，整型          */
/****************************************/
unsigned int sqrt_16(unsigned long M)
{
unsigned int N, i;
unsigned long tmp, ttp; // 结果、循环计数
if (M == 0)             // 被开方数，开方结果也为0
   return 0;

N = 0;

tmp = (M >> 30);       // 获取最高位：B
M <<= 2;
if (tmp > 1)          // 最高位为1
{
   N ++;             // 结果当前位为1，否则为默认的0
   tmp -= N;
}

for (i=15; i>0; i--)    // 求剩余的15位
{
   N <<= 1;          // 左移一位

   tmp <<= 2;
   tmp += (M >> 30); // 假设

   ttp = N;
   ttp = (ttp<<1)+1;

   M <<= 2;
   if (tmp >= ttp)    // 假设成立
   {
         tmp -= ttp;
         N ++;
   }

}

return N;
}

李小路 发表于 2021-7-11 18:34:21

谢谢分享！:D

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