如何利用频率采样法设计FIR滤波器

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                    ???? 有限长脉冲响应(FIR)数字滤波器由于设计灵活，滤波效果好以及过渡带宽易控制，因此在数字信号处理领域得到了广泛的应用。FIR数字滤波器的典型设计方法主要有窗函数法和频率采样法。正确理解和掌握这两种设计方法是学习FIR数字滤波器的一个重要环节。用窗函数法进行FIR滤波器设计的相关问题，目前的教材讲解较为细致，这里不再赘述。本文主要探讨用频率采样法设计FIR数字滤波器的相关问题，主要包括设计原理、性能分析、线性相位条件及设计中应注意的问题等几个方面。
　　1 设计原理及滤波器性能分析
　　频率采样法是从频域出发，对给定的理想滤波器的频响

，然后以此Hd(k)作为实际FIR滤波器的频率特性采样值H(k)，即令：




　　下面对设计出的滤波器频率响应特性进行分析。由频域采样定理中的内插公式可以知道，利用这N个频域采样值H(k)同样可以求得FIR滤波器的频率响应

将逼近理想滤波器的频响

的内插公式为：


。但是在采样点之间的频率响应是由各采样点的加权内插函数叠加而形成的，因而有一定的逼近误差。该误差大小取决于理想频率响应的形状，理想频响特性变化越平缓，内插值越接近理想值，逼近误差越小；反之，如果采样点之间的理想频响特性变化越陡，则内插值与理想值之间的误差越大，因而在理想滤波器不连续点的两边，就会产生尖峰，而在通带和阻带就会产生波纹。用频率采样法设计的实际滤波器频率响应如图1所示。由图1可知，实际滤波器的阻带衰减取决于内插函数第一旁瓣幅度值的大小，其大小决定了所设计的滤波器的阻带性能。


对称，其中N为滤波器的长度。以第一类线性相位条件h(n)=h(N-1-n)(偶对称)为基础来推导频域采样Hd(k)满足的条件。
　　理想滤波器的频率响应可以表示为：







　　第二步：在频域内对进行N点等间隔采样，利用频率采样设计公式求频率采样值Hd(k)，采样间隔△ω=2π／N=O．1 π，这样在通带内共有3个采样点，分别是k=0，1，2。利用频率采样设计式(10)和式(11)，可以得到：




　　第四步：根据傅里叶变换的定义求得实际滤波器的频率响应

是否满足滤波器技术指标的要求，主要验证滤波器的阻带衰减是否能够满足阻带的要求。借助于Matlab软件，按照以上4个步骤设计出低通滤波器的仿真结果如图2所示。




　　为进一步增加阻带衰减，可再增加一个过渡采样点，并将采样点数增加到60。两个过渡样点值经优化分别为H1=O．592 5和H2=O.1099，其仿真结果如图4所示。由图4(d)可见，这时阻带衰减达到-73 dB。还可以通过进一步增加过渡样点来增加阻带衰减，一般情况下，最多增加3个过渡采样点即能满足阻带衰减的要求。显然，在保证过渡带宽不变的情况下，相应的采样点数也成倍增加，这样将使滤波器的复杂度大大增加，在实现滤波时计算量也随之增加。




　　4 结语
　　Matlab仿真结果验证了用频率采样法设计FIR线性相位数字滤波器这一数字信号处理中的基本理论，有助于学生深入理解并掌握这一重要的FIR滤波器设计方法。需要强调的是，频率采样法是从频域出发直接设计滤波器的，而窗函数法是从时域出发设计滤波器的，两种设计方法各有优缺点。窗函数法设计FIR数字滤波器是傅里叶变换的典型运用，而频率采样法设计的指导思想是频域采样定理及内插公式，其阻带衰减的改善是通过增加过渡采样点实现的，同时为保证过渡带宽的不变，滤波器的采样点数也要相应增加，计算复杂度也随之成倍增加，这就要求在用频率采样法设计FIR滤波器时，要综合考虑阻带衰减和滤波器长度的要求，从而达到设计的最优化。